聰明不如鈍筆
총명불여둔필
$x^2$을 미분하면 $2x$가 나옵니다.
'미분'이라는 말을 한 번이라도 들어보신 분이라면 알고 계실 내용입니다.
'왜 이렇게 되냐?'고 묻는다면 '지수를 아래로 내리고 차수를 하나 줄이면 되기 때문'이라고 답을 하시는 분이 제일 많을 겁니다.
맞습니다. 그런데 미분을 할 때 이렇게 하는 이유는 도대체 무엇일까요?
여태 그 이유를 모르셨던 분께 도움이 되기를 바라는 마음으로 시작해 보겠습니다.
가로와 세로 길이가 모두 $x$인 정사각형이 있다고 해보겠습니다.
사각형 넓이는 가로와 세로를 곱해서 계산하면 됩니다.
따라서 $x \times x = x^2$입니다.
이런 식으로 정사각형 넓이를 계산하는 함수를 $f(x) = x^2$로 정의해보겠습니다.
여기서 각 변 길이가 h만큼 늘어나면 어떻게 될까요?
이 정사각형 넓이는 $f(x+h)$라고 쓰면 됩니다.
$f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$입니다.
위에 있는 그림에서도 넓이가 $xh$인 직사각형 2개, $x^2$인 정사각형 하나를 찾을 수 있습니다.
그리고 여기서 늘어난 넓이는 $f(x+h) - f(x) = 2xh + h^2$입니다.
이때 1초마다 h가 일정하게 변한다고 가정해 보겠습니다.
그러면 이 값을 h로 나누면 1초마다 넓이가 얼마나 늘어났는지 알 수 있습니다.
넓이 변화를 d라고 하고 이를 공식으로 나타내면 아래와 같습니다.
\[ \begin{align} d &= \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &= \frac{2xh + h^2}{h} \\ &= 2x + h \\ \end{align} \]
순간적으로 그러니까 h가 0을 향해 수렴할 때 이 값을 계산하는 게 바로 미분입니다.
그러면 $h$에 0을 넣으면 되고 그러면 $2x$만 남습니다.
이게 바로 $x^2$을 미분하면 $2x$가 되는 이유입니다.
정말 그런지 이 그림을 다시 보면서 생각해 보겠습니다.
일단 넓이가 $h^2$인 정사각형은 넓이가 0이 되니 무시하면 됩니다.
넓이 $xh$인 사각형에서는 차원이 줄어듭니다.
높이 $h$가 사라지면서 길이 $x$만 남게 되는 겁니다.
그러면 $x$ 두 개가 남으니 $2x$가 됩니다.
미분 공부를 해보신 분은 위에 나온 식을 '어디서 많이 봤다'고 생각하셨을 수도 있습니다.
수학에서 어떤 변수가 특정 값을 향해 수렴할 때는 $\lim$ 기호를 씁니다.
우리는 h가 0을 향해 수렴하는 상황을 알아보고 있으니까 미분 함수 $f'(x)$는 이렇게 나타내면 됩니다.
$ \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
지금까지는 변화량을 $h$로 썼는데 변화량을 나타내는 기호인 $\Delta$를 활용해 아래 공식처럼 쓰기도 합니다.
$ \displaystyle f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(\Delta x)}{h}$
개인적으로 저는 그래프를 정말 사랑하는 사람이지만 그래프 위에서 점을 오가는 것보다는 이쪽이 미분 개념을 더 쉽게 이해할 수 있지 않은가요?
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