聰明不如鈍筆
총명불여둔필
$x$를 적분하면 $\frac{1}{2}x^2 + C$가 됩니다.
'적분'이라는 말을 한 번이라도 들어보신 분이라면 알고 계실 만한 내용입니다.
'왜 이렇게 되냐?'고 묻는다면 '지수에 1을 더한 다음 분모를 만들어 곱하고 상수항 C를 더하면 되기 때문'이라고 답을 하시는 분이 제일 많을 겁니다.
미분 개념을 소개할 때 말씀드린 것처럼 적분에서도 틀린 얘기는 아닙니다.
그런데 적분을 할 때 이렇게 하는 이유는 도대체 뭘까요?
여태 그 이유를 모르셨던 분께 도움이 되기를 바라는 마음으로 시작해 보겠습니다.
이 글 처음에 나온 그림을 이렇게 다시 그려보겠습니다.
그러면 이 사각형 넓이는 가로(x)와 세로(y) 길이를 곱해서 $6 \times 3 = 18$이 됩니다.
그리고 이때 사각형 윗변은 $y = f(x) = 3$이라는 함수로 쓸 수 있습니다.
$x$에 어떤 값을 넣어도 이 함수는 $3$을 출력합니다.
그래서 $x$가 $0$에서 $6$까지 변할 때도 $y$는 $3$에서 변하지 않습니다.
그러니 이 사각형 넓이는 $3x$로 계산하면 됩니다.
이번에는 $f(x) = x$로 빗변을 그린 삼각형입니다.
삼각형 넓이는 가로 $\times$ 세로 $ \times \frac{1}{2} $로 계산하니까 이 삼각형 넓이는 $6 \times 6 \times \frac{1}{2} = 18$입니다.
이를 일반화 하면 $x$가 $x$일 때 이 삼각형 넓이는 아래처럼 쓸 수 있습니다.
\[ x \times x \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}x^2 \]
이 수식 어디선가 많이 보신 것 같지 않나요?
$x$를 적분하면 $\frac{1}{2}x^2$가 되는 이유가 바로 여기 들어 있습니다.
적분은 쌓을 적(積)과 나눌 분(分)을 합친 말입니다.
$x$를 구간별로 나눠서 함수값을 계산한 다음에 이 값을 모두 쌓는(합치는) 게 적분입니다.
얼핏 복잡해 보이는 적분 공식도 그런 의미를 담고 있습니다.
\[ \int_0^x f(x) \, dx \]
여기서 $\int$ 기호가 '합친다'는 뜻이고 $dx$는 $x$축 방향으로 구간을 나누라는 뜻입니다.
그래서, 맨 처음에 나온 사각형을 그릴 때 썼던, $f(x) = 3$를 적분하면 이런 결과가 나옵니다.
\[ \int_0^6 3 \, dx = 3 \times (6 - 0) = 18\]
$f(x) = x$는 조금 더 복잡하지만 큰 틀에서는 별로 다를 게 없습니다.
\[ \int_0^6 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^6 = \frac{6^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{36}{2} = 18\]
여기까지 읽으시면서 $+ C$는 어디로 갔는지 궁금해하신 분도 계셨을 겁니다.
이 $C$에는 상수 그러니까 특정한 숫자가 들어가고 $A$, $k$, $K_0$ 등으로 표시하기도 합니다.
사실 이 포스트처럼 넓이 또는 부피를 구할 때(정적분)는 이 상수항이 필요하지 않습니다.
다만 적분이 미분 반대 과정(부정적분)일 때는 상수항을 덧붙여야 합니다.
아래 함수 모두 미분하면 $x$가 나오기 때문입니다.
\[ \frac{x^2}{2}, \frac{x^2}{2} + 1, \frac{x^2}{2} - \pi \]
이렇게 뒤에 붙는 숫자가 있는지 없는지도 또 얼마인지는 모르지만 있을 수도 있다는 뜻에서 붙이는 게 바로 $+C$입니다.
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