聰明不如鈍筆
총명불여둔필
'브레인리(Brainly)'에서 재미있는 문제를 하나 발견했습니다.
이 게시물에 달린 답은 8입니다.
답변자는 $x = 5$, $y = 3$이기 때문이라고 이유를 설명했습니다.
이 답도 물론 맞습니다.
$5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$이고 $5 \times 3 = 15$가 틀림없으니까요.
제가 재미있다고 생각한 건 $x + y$를 구하라는 문제가 있을 때 $x$, $y$를 각각 구하는 게 만국공통이라는 생각이 들었기 때문입니다.
이 문제를 본격적으로 다루기 전에 다음 문제부터 풀어보겠습니다.
\[ \begin{align} (x + y)^2 &= 400 \\ x^2 - y^2 &= 200 \\ x \div y &= {?} \end{align} \]
일단 $(x + y)^2 = 400$에서 $x + y = \pm20$이라는 사실을 알 수 있습니다.
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$니까 $\pm20(x - y) = 200$ 따라서 $x - y = \pm10$이 됩니다.
$x + y = \pm20$과 $x - y = \pm10$을 더하면 $2x = \pm30$가 나옵니다.
결국 $x = \pm15$니까 $y = 10 - x = \pm5$라고 계산할 수 있습니다.
따라서 $x \div y = \pm15 \div \pm5 = 3$입니다.
이 계산에는 아무 문제가 없습니다. 쓸데없이 $x$, $y$ 값을 구했다는 걸 빼면 말입니다.
이렇게 계산하면 $x$, $y$를 따로 계산하지 않아도 $x \div y$ 값을 알 수 있습니다.
\[ \begin{align} \frac{(x + y)^2}{x^2 - y^2} = \frac{400}{200} = 2 \end{align} \]
\[ \begin{align} \frac{\cancel{(x + y)}(x + y)}{\cancel{(x + y)}(x - y)} = 2 \end{align} \]
\[ \begin{align} x + y &= 2(x - y) \\ x + y &= 2x - 2y \\ 3y &= x \end{align} \]
\[ \begin{align} \therefore x \div y &= 3y \div y = 3 \end{align} \]
문제 자체가 $x \div y$를 구하라는 건데 굳이 $x$, $y$를 따로 계산할 필요가 없던 겁니다.
비슷한 문제를 하나 더 풀어보겠습니다.
\[ \begin{align} x + y &= 1 \\ x^2 + y^2 &= 3 \\ x^8 + y^8 &= {?} \end{align} \]
이번에도 $y = 1 - x$를 이용해 $x^2 + (1 - x)^2 = 3$로 접근하는 방법이 있습니다.
이 식을 전개하면 $2x^2 - 2x - 2 = 0$이 됩니다.
이 식은 $x^2 - x - 1 = 0$과 같습니다. 그 유명한 '근의 공식'에 대입하면:
\[ \begin{align} x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ &=\frac{-(-1) \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-1)}}{2 \times 1} \\ &=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{align} \]
$y = 1 - x$니까 $y$는 이렇게 계산할 수 있습니다.
\[ \begin{align} y &= 1 - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\ &= \frac{2 - (1 \pm \sqrt{5})}{2} \\ &= \frac{1 \mp \sqrt{5}}{2}\\ \end{align} \]
요컨대 $x$, $y$는 이렇게 두 쌍이라는 얘기입니다.
\[ \begin{align} (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}), (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) \end{align} \]
이제 두 숫자를 여덟 번씩 곱해서 더하기만 하면 됩니다. 참 쉽죠?
앞에 나온 문제는 몰라도 이 문제를 보시면 $x$, $y$ 값을 각각 계산하는 게 의미가 없다는 사실을 느끼셨을 겁니다.
그러면 어떻게 해야 할까요?
자, 일단 $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$입니다.
여기서 $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$로 바꿀 수 있습니다.
우리는 $x + y = 1$ 그리고 $x^2 + y^2 = 3$이라는 사실을 알고 있습니다.
\[ \begin{align} x^2 + y^2 &= (x + y)^2 - 2xy \\ 3 &= 1^2 - 2xy\\ 3 - 1 &= - 2xy \\ 2 &= -2xy \\ xy &= -1 \end{align} \]
같은 이치로 $x^8 + y^8 = (x^4 + y^4)^2 - 2(x^4y^4) = (x^4 + y^4)^2 - 2(xy)^4$입니다.
$xy = -1$이고 $(-1)^4 = 1$이니까 $(x^4 + y^4)^2 - 2$를 계산하면 되겠죠?
이제 $x^4 + y^4$가 얼마인지만 알면 됩니다.
$x^2 + y^2 = 3$을 알고 있으니 문제가 될 게 없습니다.
\[ \begin{align} x^4 + y^4 &= (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2 \\ &= 3^2 - 2 = 7 \end{align} \]
결국 $x^8 + y^8 = = 7^2 - 2 = 49 - 2 = 47$이 됩니다.
이제 맨 처음에 나왔던 문제를 다시 보겠습니다.
\[ \begin{align} x^2 - y^2 &= 16 \\ xy &= 15 \\ x + y &= {?} \end{align} \]
이 문제 역시 알고 있는 것부터 활용하면 됩니다.
$x^2 - y^2$은 $(x + y)(x - y)$이고 이 값이 16이니까 이렇게 쓸 수 있습니다.
\[ \begin{align} (x + y)(x - y) &= 16 \\ (x + y)^2(x - y)^2 &= 16^2 \end{align} \]
$xy = 15$라는 사실까지 반영해 이 식을 길게 펼쳐 보겠습니다.
\[ \begin{align} (x^2 + 2xy + y^2)(x^2 - 2xy + y^2) &= 16^2 \\ (x^2 + y^2 + 30)(x^2 + y^2 - 30) &= 16^2 \end{align} \]
$x^2 + y^2$을 $q$라고 하면 $(q + 30)(q - 30) = q^2 - 30^2$ 모양이 됩니다.
\[ \begin{align} q^2 - 30^2 &= 16^2 \\ q^2 &= 16^2 + 30^2 \\ &= (2^4)^2 + (2 \times 3 \times 5)^2 \\ &= (2^2 \times 2^6) + 2^2 \times (3 \times 5)^2 \\ &= 2^2 \times (2^6 + 15^2) \\ &= 2^2 \times (64 + 225) \\ &= 2^2 \times 289 \\ &= 2^2 \times 17^2 \\ &= (2 \times 17)^2 = 34^2 \end{align} \]
이를 통해 우리는 $q = x^2 + y^2 = \pm34$라는 사실을 알 수 있습니다.
$x^2 + y ^2 = (x + y)^2 - 2xy$라는 것 기억하고 계시죠? $xy = 15$니까:
\[ \begin{align} (x + y)^2 - 2xy &= \pm34 \\ (x + y)^2 - 2 \times 15 &= \pm34 \\ (x + y)^2 - 30 &= \pm34 \\ (x + y)^2 &= 30 \pm34 \end{align} \]
따라서 $(x + y)^2$은 $64$ 아니면 $-4$고 자연스레 $x + y$는 $\pm8$, $\pm2i$가 됩니다.
요컨대 문제가 나오면 문제가 요구하는 걸 계산하면 그만입니다.
괜히 이 값, 저 값을 따로 계산할 필요가 없습니다.
이상 수학 문제 심심 풀이 끝 -_-)/
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