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음수 곱하기 음수는 왜 양수일까?

중학교 1학년 수학 시간에 배우는 것처럼 음수(陰數) 곱하기 음수는 양수(陽數)입니다.

 

다른 말로 하면 마이너스(-) 곱하기 마이너스(-)는 플러스(+)가 됩니다.

 

예를 들어 $(-2) × (-3) = (+6)$입니다.

 

나누기도 결국 역수(逆數)를 곱하는 거니까 음수 나누기 음수도 양수입니다.

 

문제는 이걸 직관적으로 이해하기가 쉽지 않다는 겁니다.

 

반면 덧셈은 수직선 위에서 마이너스는 왼쪽, 플러스는 오른쪽이라고 생각하면 직관적으로 이해할 수 있습니다.

 

사실 같은 방식으로 생각하면 $(-) × (+) = (+) × (-) = (-)$인 것도 어렵지 않게 이해할 수 있습니다.

 

예를 들어 1분에 오른쪽으로 2씩$(+2)$ 움직이는 물체 A가 있다고 가정해 보겠습니다.

 

이 물체가 현재 0이라는 지점에 있다면 2분 전$(-2)$에는 -4에 자리하고 있었을 겁니다.

 

$(+2) × (-2) = -4$가 되는 겁니다.

 

그러면 1분에 왼쪽으로 3씩$(-3)$ 움직이는 물체 B가 현재 0에 있다면 2분 전$(-2)$에는 어디에 있었을까요?

 

이번에도 +6에 있었다는 사실을 큰 어려움 없이 짐작할 수 있습니다.

 

따라서 $(-3) × (-2) = +6$이라고 할 수 있습니다.

 

실제 중학교 1학년이 이 글을 본다면 여전히 이해하기 어려울지도 모르는 게 사실.

 

그래도 갑자기 문득 음수 곱하기 음수가 양수가 되는 이유가 궁금해 찾아 오신 어른이라면 이 정도는 이해하셨을 줄로 믿습니다.

 

간단한 사칙연산으로 이 사실을 증명하는 방법도 있습니다.

 

실제로는 간단한 계산이지만 아직은 답이 얼마인지 모른다고 가정해 봅시다.

 

$$2 × 3 + 2 × (-3) = ?$$

 

그래도 이 공식을 아래처럼 2를 앞으로 빼서 묶어 쓸 수 있는 사실은 알 수 있습니다.

 

$$2 × (3 + (-3)) = ?$$

 

$3 + (-3) = 0$이니까 계산 결과는 당연히 0이 나와야 합니다.

 

조금 더 계산해 봅니다. 일단 $2 × 3 = 6$이라는 건 구구단만 외울 줄 알면 누구나 아는 내용.

 

$$6 + 2 × (- 3 ) = 0$$

 

따라서 이 식을 만족하려면 $2 × (- 3 ) = (-6)$이 되어야 합니다.

 

일단 이 계산 결과를 통해 양수(+) 곱하기 음수(-) 또는 음수(-) 곱하기 양수(+)는 음수(-)가 된다는 사실을 확인할 수 있습니다.

 

그러면 이 식에서 앞에 있는 2만 -2로 바꾸면 어떻게 될까요?

 

$$(-2) × 3 + (-2) × (-3) = ?$$

 

이 식 역시 $-2(3 + (-3))$으로 줄여 쓸 수 있고 이때 계산 결과는 0이 나와야 합니다.

 

우리는 이미 위에서 $-2 × 3 = (-6)$이라는 사실을 확인한 상황입니다.

 

따라서 이 식은 $-6 + (-2) × (-3) = 0$이라고 바꿔 쓸 수 있습니다.

 

자연스레 $(-2) × (-3) = (+6)$이라는 걸 알 수 있게 됩니다.

 

이번에도 음수 곱하기 음수는 양수가 나와야 계산이 자연스럽게 흘러갑니다.

 

조금 더 유식해 보일 수 있게 문자를 써서 증명하는 방법도 있습니다.

 

$$(-x) × (-y) = (-x) × (-y)$$

 

이건 그냥 $x = x$처럼 아주 당연한 식입니다.

 

오른쪽 변에 0을 더한다고 결과가 달라지지 않으니 일단 더합니다.

 

$$(-x) × (-y) = (-x) × (-y) + 0$$

 

0은 $(-xy + xy)$로 바꿔도 아무 영향이 없습니다.

 

$$(-x) × (-y) = (-x) × (-y) + (-xy + xy)$$

 

그다음 아래처럼 오른쪽 변을 모양을 살짝 바꿔줍니다.

 

$$(-x) × (-y) = ((-x) × (-y) + (-xy)) + xy$$

 

다시 $(-x)$를 밖으로 빼면 식을 이렇게 바꿀 수 있습니다.

 

$$(-x) × (-y) = (-x)((-y) + y)) + xy$$

 

$(-y) + y = 0$이니까 자연스레 이 식은 이렇게 정리할 수 있습니다.

 

$$(-x) + (-y) = xy$$

 

따라서 이번에도 (-) 곱하기 (-)는 (+)라는 결론이 나옵니다.

 

결국 이렇게 보고 저렇게 봐도 음수 곱하기 음수는 양수가 맞았던 겁니다.

 

 

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