聰明不如鈍筆
총명불여둔필
assignment Questionnaire

8÷2(2+2)=?


일단 정답은 16입니다. 16이 정답이 아닐 때도 1은 분명히 오답입니다.


사실 이런 문제가 인터넷에 등장한 게 이번이 처음은 아닙니다. 2011년에는 '48÷2(9+3)' 사태(?)가 있었습니다. 숫자는 바꿨지만 이번 문제하고 구조가 완전히 똑같은 걸 아실 수 있습니다.


'8÷2(2+2)'를 계산할 때 모두가 동의하는 건 (2+2)부터 계산해야 한다는 것. 그러면 이 식은 '8÷2×4'가 됩니다. 이후에는 왼쪽부터 차례로 계산하면 그만. 그러면 '(8÷2=)4×4'를 구하라는 문제가 되니까 16이 정답입니다.


네, 이런 반론도 있을 수 있습니다. 만약 x=8, y=2, z=2+2라고 한다면 이 식은 x ÷ yz라고 쓸 수 있습니다. 이럴 때는 yz부터 계산해 8÷8이 되어야 하니까 답이 1이라는 주장입니다.


아닙니다. x ÷ yz는 $\frac{x}{yz}$지만 8÷2(2+2)가 $\frac{8}{2(2+2)}$ 형태가 되려면 8÷{2(2+2)}처럼 써야 합니다. 실제로는 중괄호가 없기 때문에 $\frac{8}{2}$(2+2)로 계산하는 게 맞습니다.



여기서 알 수 있는 사실은 맨 처음에 우리가 동의했던 것처럼 먼저 계산해야 하는 식에는 괄호를 쳐야 한다는 사실입니다. 문자로 쓴 yz는 그 차제로 항(項)이지만 2(2+2)가 그렇다는 이유는 찾기 어렵습니다.


그래서 사실 이런 식 자체가 잘못되었습니다. 이광연 한서대 수학과 교수는 48÷2(9+3) 사태 당시 동아사이언스 인터뷰에서 "트릭을 만들려고 만든 식인데, 사람들이 쓸데없는 데 신경을 많이 쓰는 것 같다"면서 "오류가 있는 수식"이라고 지적했습니다. 실제로 R과 파이썬에 '8/2(2+2)'를 계산하라고 하면 오류가 나옵니다.


이 교수는 계속해 "중학교 1학년 수학 내용으로 원래 문자식에서 식을 간단하게 할 때 곱셈기호나 나누기기호를 생략하는데, 이 문제에선 헷갈리게 하려고 2(9+3)만 썼다"며 "원칙적으로 중괄호로 묶어나 앞의 나눗셈 기호도 곱셈처럼 생략해서 분수식으로 써야 한다"고 설명했습니다. 제가 $\frac{8}{2}$(2+2)로 정리한 이유입니다.


미국 코넬대 스티븐 스트로가츠 교수(응용수학)는 뉴욕타임스 기고문을 통해 답이 16이라고 설명하면서 "어떤 전문 수학자도 이렇게 모호하게 쓰지 않는다. 수학자라면 정확한 표현으로 무엇을 먼저 계산해야 하는지 분명하게 밝혔을 것"이라며 "PEMDAS(또는 BODMAS) 규칙을 제대로 따르기만 한다면 이런 해묵은 논쟁을 없을 것"이라고 지적했습니다.


PEMDAS는 괄호(Parenthesis), 지수(Exponents), 곱하기(Multiply), 나누기(Divide), 더하기(Add), 빼기(Subtract)에서 앞글자를 따서 사칙연산 계산 순서를 알려주는 표현이고, BODMAS는 괄호(Brackets), 거듭제곱(Order), 나누기, 곱하기, 더하기, 빼기 약자로 같은 구실을 하는 표현입니다.


그러니 여전히 1이 맞다고 생각하신다면 그 카드는 얼른 넣어두세요.

댓글, 14

  • 댓글 수정/삭제 .
    2019.09.28 23:11

    그럼 곱하기는 왜 생략하죠 정확히 표현해야지;

    •  수정/삭제 kini
      2019.10.01 12:26 신고

      x와 헷갈리기 때문입니다.
      그리고 곱하기가 들어가면 그걸로 항 하나를 완성하기 때문입니다.

  • 댓글 수정/삭제 .
    2019.12.28 10:55

    곱하기랑 수학기호 x는 누가봐도 다르게 생겼는데 헷갈린다는건 억지 아닌가요?

    •  수정/삭제 kini
      2019.12.31 14:55 신고

      흔히 설명하는 방식입니다.
      자료를 찾아보시면 그렇게 설명한 자료가 많을 겁니다.

  • 댓글 수정/삭제 인성
    2020.01.03 09:40

    8÷2(2+2)=8÷4+4 로 쓸수 있는거
    아닌가요?
    그래서 답을 6이라고 하는 것이
    합리적이라고 보는데요.
    2(2+2) 에 대해서 괄호를 먼저 풀고
    순서대로 계산하는 것이 맞지 않나요?

    2를 앞으로 뺐다는 것은 공통의 숫자를
    앞으로 뺄때 사용하는 것이구요.
    2a+2b가 2(a+b) 인거 처럼..

  • 댓글 수정/삭제 지나가는행인
    2020.01.09 23:09

    저는 1로 보고 있습니다.

    곱셈을 생략하는 경우는 실제값 곱셈이 아닌 경우에만 생략 가능합니다.
    ex) a x b = ab, 2 x a = 2a (* 2 x 2 = 22로 표기하지는 않음)

    실제값 x (수식)이 2(2+2)처럼 생략되는 이유도 수식자체는 실제값이 아닙니다.
    2+2가 4라는 실제값을 가진다는 것은 어디까지는 계산에 따른 결과 값이지 수식자체가 실제값 성향을 가지지는 않습니다.

    또한 여기서 참고로 곱셈을 생략 할때 (a x b) = ab 처럼 괄호가 원래 존재하지만 수식으로 표기를 하다보니 a x b = ab라고 표기가 되고 있는 부분입니다.
    a / bc가 (a ÷ b) x c 로 계산을 하지 않고 a ÷ (b x c)로 계산해야 되는 이유가 이 때문입니다.
    * bc = y라고 가정을 한다면 b와 c에 대한 결과가 달라지는 오류가 발생하기 때문에 생략된 곱셈을 선처리하도록 되어 있습니다.

    그래서 저는 8 ÷ (2 x(2+2)) = 1로 생각을 하고 있습니다.

    •  수정/삭제 지나가는행인
      2020.01.09 23:15

      참고로 답은 없습니다.
      16을 주장하는 사람은 사칙연산과 괄호연산에 대한 수학론을 바탕으로 이야기하고 있고

      1을 주장하는 사람은 가정과 증명에 따른 내용을 바탕으로 이야기하고 있고

      수식의 문제를 주장하는 사람은 정확한 룰이 없다는 것을 바탕으로 이야기 하고 있습니다.

    •  수정/삭제 kini
      2020.01.10 11:48 신고

      의견 남겨 주셔서 감사합니다.

    •  수정/삭제 kini
      2020.01.10 11:49 신고

      수학론과 가정과 증명이 어떻게 다른 건지는 궁금하네요.

    •  수정/삭제 지나가는 나그네
      2020.07.09 14:31

      x가 생략 가능하듯이 괄호도 생략 가능하다는게
      지나가는 행인님의 말씀이네요
      저도 이 의견에 동의합니다

    •  수정/삭제 kini
      2020.07.13 17:38 신고

      그래서 어떤 답을 생각하고 계시나요?

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