x2을 미분하면 2x가 나옵니다.
'미분'이라는 말을 한 번이라도 들어보신 분이라면 알고 계실 내용입니다.
'왜 이렇게 되냐?'고 묻는다면 '지수를 아래로 내리고 차수를 하나 줄이면 되기 때문'이라고 답을 하시는 분이 제일 많을 겁니다.
맞습니다. 그런데 미분을 할 때 이렇게 하는 이유는 도대체 무엇일까요?
여태 그 이유를 모르셨던 분께 도움이 되기를 바라는 마음으로 시작해 보겠습니다.
가로와 세로 길이가 모두 x인 정사각형이 있다고 해보겠습니다.
사각형 넓이는 가로와 세로를 곱해서 계산하면 됩니다.
따라서 x×x=x2입니다.
이런 식으로 정사각형 넓이를 계산하는 함수를 f(x)=x2로 정의해보겠습니다.
여기서 각 변 길이가 h만큼 늘어나면 어떻게 될까요?
이 정사각형 넓이는 f(x+h)라고 쓰면 됩니다.
f(x+h)=(x+h)2=x2+2xh+h2입니다.
위에 있는 그림에서도 넓이가 xh인 직사각형 2개, x2인 정사각형 하나를 찾을 수 있습니다.
그리고 여기서 늘어난 넓이는 f(x+h)−f(x)=2xh+h2입니다.
이때 1초마다 h가 일정하게 변한다고 가정해 보겠습니다.
그러면 이 값을 h로 나누면 1초마다 넓이가 얼마나 늘어났는지 알 수 있습니다.
넓이 변화를 d라고 하고 이를 공식으로 나타내면 아래와 같습니다.
d=f(x+h)−f(x)h=2xh+h2h=2x+h
순간적으로 그러니까 h가 0을 향해 수렴할 때 이 값을 계산하는 게 바로 미분입니다.
그러면 h에 0을 넣으면 되고 그러면 2x만 남습니다.
이게 바로 x2을 미분하면 2x가 되는 이유입니다.
정말 그런지 이 그림을 다시 보면서 생각해 보겠습니다.
일단 넓이가 h2인 정사각형은 넓이가 0이 되니 무시하면 됩니다.
넓이 xh인 사각형에서는 차원이 줄어듭니다.
높이 h가 사라지면서 길이 x만 남게 되는 겁니다.
그러면 x 두 개가 남으니 2x가 됩니다.
미분 공부를 해보신 분은 위에 나온 식을 '어디서 많이 봤다'고 생각하셨을 수도 있습니다.
수학에서 어떤 변수가 특정 값을 향해 수렴할 때는 lim 기호를 씁니다.
우리는 h가 0을 향해 수렴하는 상황을 알아보고 있으니까 미분 함수 f'(x)는 이렇게 나타내면 됩니다.
\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
지금까지는 변화량을 h로 썼는데 변화량을 나타내는 기호인 \Delta를 활용해 아래 공식처럼 쓰기도 합니다.
\displaystyle f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(\Delta x)}{h}
개인적으로 저는 그래프를 정말 사랑하는 사람이지만 그래프 위에서 점을 오가는 것보다는 이쪽이 미분 개념을 더 쉽게 이해할 수 있지 않은가요?